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2024-07-27 07:53 点击次数：125
它是朗兰兹纲目的几何化版块。
朗兰兹纲目被视为当代数学规画中最大的单项名目，被称为“数学的大调理表面”。它建议数论、代数几何、群暗示论这三个孤苦发展的数学分支之间其实密切琢磨。
费马大定理被完竣阐述，就收成于对朗兰兹纲目的应用。安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles）对一小部分函数的数论朗兰兹的关系的阐述，就处分了困扰数学界300年的费力。
几何朗兰兹料想手脚朗兰兹纲目的几何版块，在上世纪80年代被建议。它提供了一种将数论措施和主张应用于几何问题（反之亦成就）的框架。
应用该料想，不错为数学、物理领域诸多悬而未决的问题提供新想路和器具。比如不错应用于量子场论和弦表面规画。
因此，当几何朗兰兹料想被阐述，无疑会震憾数学界。
主要规画朗兰兹纲目的菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨（Peter Scholze）将这一最新后果评价为“30年勤恳的巅峰”。
看到它能被处分简直太好了！几何朗兰兹纲目独创东说念主之一亚历山大·贝林森（Alexander Beilinson）也暗示：
这个阐述简直绝顶秀美，是同类中最佳的。该规画由丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）和山姆·拉斯金（Sam Raskin）设备完成。
9东说念主团队中，还包括中国粹者陈麟。
他是清华大学丘成桐数学科学中心助理教训，曾在15岁时摘得IMO金牌。
几何，朗兰兹纲目的临了一环朗兰兹纲目的建议在1967年。
30岁的普林斯顿大学教训罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）给“数学的罗塞塔石碑”独创东说念主安德烈·韦尔 (André Weil) 寄去了一封长达17页的手写信，信中向阐述了他的愿景。
（这里的“罗塞塔石碑”是一种比方，指的是由数学家André Weil建议的一个数学领域之间的类比，这个类比把数论、几何学和函数域这三个看似不同的数学领域琢磨在了一皆。）
朗兰兹写说念，在“罗塞塔石碑”的数论和函数域中，有可能创建出傅里叶分析的实施。
傅里叶分析是一种将复杂波形暗示为平滑飘零三角函数波的框架，是当代电信、信号处理、磁共振成像以及许多当代生存的基本期间。
雷同于傅里叶分析中函数与其傅里叶变换之间的关系，朗兰兹纲目通过在这三个领域中竖立雷同的“对应关系”将它们琢磨起来。
傅里叶变换在波和频谱之间走动休养，朗兰兹纲目当中也有相应的“波”和“频谱”。
其中“波”的一面由某些非凡函数组成【BTYD-053】Brand New Girl 遠山千里2007-08-24BEAUTY&$BEAUTY117分钟，“频谱”的一面则由某些代数对象组成，用以记号“波”的频率：
在数论中，函数是界说在p-adic数域或者阿德尔环上的非凡函数，代数对象是Galois群或者与之琢磨的群的暗示； 在几何中，函数是界说在黎曼曲面上的特征层(D-模)，代数对象是黎曼曲面基本群在某个代数群G上的暗示； 在函数域中，函数是界说在弧线上的非凡函数，代数对象是Galois群或者与之琢磨的群的暗示。因此，朗兰兹纲目提供了一个调理的视角，将数论、几何、函数域这三个数学分支琢磨起来，并由此带来了一系列深刻而平素的数学问题和料想。
通过朗兰兹纲目的框架，许多传统数论中的费力不错滚动为暗示论或其他领域中的问题，从而以新的视角和器具加以处分，朗兰兹纲目的想想和措施在许多具体的数学问题中得到了应用。
△罗伯特·朗兰兹
举例，费马大定理的阐述就鉴戒了朗兰兹纲目中的想想，将椭圆弧线和模格局琢磨起来，并最终通过这些琢磨取得了生效。
除了数学自己，朗兰兹纲目对物理学等其他学科也起到了伏击作用，比如在量子场论和弦表面中，朗兰兹纲目的某些想想和措施得到了应用。
其中，几何朗兰兹料想不仅领有更平素的应用和琢磨，还提供了几何视角的弘大器具，因此在朗兰兹纲目中显得尤为伏击。
但几何朗兰兹料想阐述的历程也十分繁重，前后一共跳动了跳动30年，最终的阐述使命从2013年才启动。
中枢的阐述内容，是对于黎曼曲面上的自同样性和对称性的深档次对应关系。
再次借用傅里叶分析的模式来解释的话，即是数学家们很早就了解了几何朗兰兹料想的“频谱”一侧，但对“波”一侧的领略则资格了漫长的经由。
致使在朗兰兹刚建议这一纲目的期间，几何部分根蒂莫得被包括在内，直到80年代，数学家弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）意志到，通过用特征层替换特征函数，有可能创建一个几何版块的朗兰兹对应关系。
而几何朗兰兹料想的精准表述，更是本世纪才出现——2012年，丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）与迪玛·阿林金（Dima Arinkin）一皆，用一篇150多页的论文给出了这一表述。
丹尼斯和阿林金指出，阐述几何朗兰兹料想的中枢想想是找到一个等价关系，将代数弧线X上的G-丛（代数空间G上的纤维丛，其纤维是G的副本）的D-模（某些空间上的微分方程的解）规模与朗兰兹对偶群^的局部系统的Ind-Coh规模（包含了通盘Ind-上同调对象）琢磨起来，即：
2013年，丹尼斯写下了几何朗兰兹料想阐述的草图，但这个草图依赖于许多尚未被阐述的中间肆意，而后的几年，丹尼斯和他的协作家竭力于于阐述这些肆意。
2020年，丹尼斯启动想考何如领略每个特征层对“白噪声”的孝顺，这一想想其后成为阐述的关键部分。
这里的“白噪声”指的是皆集朗兰兹料想中的庞加莱层（Poincaré sheaf），作家以此类比是基于傅里叶变换中的正弦波。
2022年春，山姆·拉斯金（Sam Raskin）和他的学生乔阿基姆·费尔格曼（Joakim Færgeman）阐述了每个特征层都以某种方式孝顺于“白噪声”，这一肆意让丹尼斯校服他们很快就能完成阐述。
从2023年起， 丹尼斯、山姆以至极他7位协作家向几何朗兰兹料想发起了临了攻关，最终的阐述包含5篇论文，篇幅越过800页，并于本年发表。
第一篇对于函子（functor）的构造，需要在特征为零的环境下，从自守（automorphic）到谱标的构造几何朗兰兹函子LG并阐述其等价性，即草率在两个规模之间竖立逐一双应的关系。
哥要如若这一等价性草率得到阐述，那么就能证据几何朗兰兹料想成就。
第二篇规画了Kac-Moody定位与全局的相互作用，阐述了该函子在特定条目下如实是一个等价性函子，从而激动了几何朗兰兹料想的阐述。
第三篇起到了桥梁的作用，不仅将已知的等价性肆意延伸到了更一般的情况，而况还通过Kac-Moody局部化期间，为领略几何朗兰兹函子与常数项函子的兼容性提供了关键的洞见。
同期，通过阐述在可约谱参数下几何朗兰兹料想的兼容性，这一篇论文为进一步阐述不行约谱参数下的几何朗兰兹料想奠定了基础。
在第四篇论文中，作家们阐述了一个关键的定理——Ambidexterity定理。这个定理标明，LG-cusp（不错视为LG在一个特定的、更小的规模上的行为）的左伴柔顺右陪同是同构的，这是阐述LG是一个等价性函子的伏击环节。
临了一篇论文则应用这一论断将料想实施到了一般情况，为旷日执久的阐述使命画上了句号。
两代数学家协力攻坚规画团队由哈佛大学教训丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）和耶鲁大学教训山姆·拉斯金（Sam Raskin）领衔。
其余作家从左至右顺时针标的分裂是：达里奥·贝拉尔多（Dario Beraldo）、陈麟（Lin Chen）、凯文·林（Kevin Lin）、尼克·罗森布吕姆（Nick Rozenblyum）、乔阿基姆·费尔格曼（Joakim Færgeman）、贾斯廷·坎贝尔（Justin Campbell）和迪玛·阿林金（Dima Arinkin）。
△图源：Quantamagazine
值得情切的是，规画小组包括中国粹者：陈麟。
陈麟，清华大学丘成桐数学科学中心助理教训。2016在北京大学取得学士学位，2021年博士毕业于哈佛大学，曾荣获哈佛2020-2021优秀奖学金。
他曾在十几岁时就展现出超强的数学天禀，12岁干预中国数学奥林匹克（CMO）竞赛并获取满分，15岁干预国度队并参加海外数学奥林匹克（IMO）竞赛取得金牌。
陈麟长久规画几何朗兰兹纲目，他与该标的的结缘，恰是来自丹尼斯·盖茨戈里。
陈麟在此前采访中长远，他是在丹尼斯的指挥下才干预几何朗兰兹这一领域。博士之前，他险些对几何暗示论一无所知，好多基础常识都是在丹尼斯的指导放学习的。
博士毕业后，陈麟也一直参与丹尼斯和其他协作家的规画名目，相关全局的规模化几何朗兰兹料想。
完成料想阐述以及论文撰写后，他还会持续想考对于局部几何朗兰兹的问题。
推行上，朗兰兹纲目眩惑着诸多中国数学学者。北大黄金一代中的恽之玮、张伟、袁新意、朱歆文，也正在攀高这一岑岭。
参考流畅：
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061
— 完 —
来自：量子位【BTYD-053】Brand New Girl 遠山千里2007-08-24BEAUTY&$BEAUTY117分钟
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